代数
代数/第 2 章
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实数
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2.4: 实数的性质
数字类型[编辑 | 编辑源代码]
我们已经在第 1 章中讨论了不同类型的数字。但是，在本节中，我们将使用更复杂的语言来指代它们，并查看每种数字的独特性质。
在数学中，有许多不同类型数字的名称，你已经遇到过很多这些类型，并且其中一些类型包含了其他类型。例如，我们可以从整数开始，例如 0、1、2、3 等。使用减法，我们可以通过从较大的数字中减去较小的数字来构建负数，从而得到集合 {... -3, -2, -1, 0} 中的答案。
使用除法，我们可以通过将较小的数字除以较大的数字来识别 0 和 1 之间的分数，例如 {1/2, 2/3, 3/4, ...} 或 {-1/-2, -2/-3, -3/-4, ....}。我们还可以通过将负数除以正数或将正数除以负数来识别 -1 和 0 之间的负分数 {-1/2, -2/3, -3/4, ...} 或 {1/-2, 2/-3, 3/-4, ...}。每个整数都可以写成分数，例如 2 = 2 1 {\displaystyle \textstyle 2={\frac {2}{1}}} 。有理数恰好是那些可以写成分数的数字。
有理数是称为实数的数字子集。一些计算器允许你通过将有理数表示成分数来区分有理数和实数。如果你使用十进制表示法，你中有理数的小数可能永远持续下去，例如 1 3 = 0.333 … {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3}}=0.333\ldots } 。实数包括之前提到的所有类型数字（整数、负数、分数等）以及需要特殊运算（如根）来表示的其他数字。这些其他数字的数字可能没有任何可识别的模式，例如 2 = 1.41421356237 … {\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356237\ldots } 。但最终，实数的行为与你已经熟悉的 rational numbers 完全一样。对于那些有几何倾向的读者来说，你可以将实数想象成一条线（或尺子），其中线上的每个点对应于一个数字，如下面的图片所示。
数字类型
实数 包括零 (0)、正负整数 (-3、-1、2、4) 以及所有介于两者之间的分数和小数 (0.4、3.1415927、1/2)。实数分为有理数和无理数。实数集用 ℝ 表示。
有理数 是可以表示为两个整数的比率（即除法）的数字（ 2 3 {\displaystyle {2 \over 3}} 、 0.6 {\displaystyle 0.6} 、 3 {\displaystyle 3} 、 − 4.7 {\displaystyle -4.7} 、 0. 111 ¯ . . . {\displaystyle 0.{\overline {111}}...} ）。如果一个数字的十进制表示法是有限的，或者小数是有限的（ 3.6 {\displaystyle 3.6} 、 5.263 {\displaystyle 5.263} ）或重复（ 1. 333 ¯ . . . . {\displaystyle 1.{\overline {333}}....} ），那么它是 rational number。有理数集用 ℚ 表示。
无理数 的小数部分既不终止也不循环 ( 2.71828... {\displaystyle 2.71828...} , 3.14159... {\displaystyle 3.14159...} ) 并且 无法表示为分数形式。例如，数字 2 = 1.41421356... {\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356...} 没有等效的两个数字的比率或除法。还有一些其他不同的“集合”有理数。无理数的集合用 𝕀 表示。
自然数，也称为“计数数”，是你学到的第一个数字。自然数包括所有正整数（1、24、6、2、357）。注意，不包括零，也不包括分数或小数。自然数的集合用 ℕ 表示。
整数 是自然数加上零。整数的集合用 𝕎 表示。
整数 是所有正数和负数，没有小数部分（3、-1、15、-42）。整数的集合用 ℤ 表示。
实数的性质[edit | edit source]
我们从回顾算术的基本性质开始。可能看起来给下面列出的几个性质赋予如此大的强调似乎很不寻常，但有一个很好的理由。粗略地说，所有的代数都遵循下面表格中列出的 5 个性质。在下面的表格中，a、b 和 c 可以是任何数字，除非另有说明。所以让我们来看看
属性名称
加法
减法
乘法
除法
交换律
a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a}
不成立 a − b ≠ b − a {\displaystyle a-b\neq b-a} 成立 a + ( − b ) = ( − b ) + a {\displaystyle a+(-b)=(-b)+a}
a ∗ b = b ∗ a {\displaystyle a*b=b*a}
不成立 a / b ≠ b / a {\displaystyle a/b\neq b/a} 成立 a ∗ 1 / b = 1 / b ∗ a {\displaystyle a*1/b=1/b*a}
结合律
( a + b ) + c = a + ( b + c ) {\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}
不成立 ( a − b ) − c ≠ a − ( b − c ) {\displaystyle (a-b)-c\neq a-(b-c)} 成立 ( a − b ) − c = a − ( b + c ) = a + ( − b − c ) {\displaystyle (a-b)-c=a-(b+c)=a+(-b-c)}
( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) {\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)}
不成立 ( a / b ) / c ≠ a / ( b / c ) {\displaystyle (a/b)/c\neq a/(b/c)} 成立 ( a / b ) / c = a ∗ 1 / b ∗ 1 / c = a / b ∗ c {\displaystyle (a/b)/c=a*1/b*1/c=a/b*c}
恒等式
a + 0 = a {\displaystyle a+0=a}
a − 0 = a {\displaystyle a-0=a}
a ∗ 1 = a {\displaystyle a*1=a}
a / 1 = a {\displaystyle a/1=a}
逆元
a + − a = 0 {\displaystyle a+-a=0}
a − a = 0 {\displaystyle a-a=0}
a ∗ ( 1 / a ) = 1 {\displaystyle a*(1/a)=1} 只要 a ≠ 0。
a / a = 1 {\displaystyle a/a=1} 只要 a ≠ 0。
分配律
a ∗ ( b + c ) = a ∗ b + a ∗ c {\displaystyle a*(b+c)=a*b+a*c}
a ∗ ( b − c ) = a ∗ b − a ∗ c {\displaystyle a*(b-c)=a*b-a*c}
a ∗ ( b + c ) = a ∗ b + a ∗ c {\displaystyle a*(b+c)=a*b+a*c}
( a + b ) / c = a / c + b / c {\displaystyle (a+b)/c=a/c+b/c} 但是等等 a / ( b + c ) ≠ a / b + a / c {\displaystyle a/(b+c)\neq a/b+a/c}
但这一切意味着什么？交换律是指交换两个数字的顺序仍然得到相同的答案。结合律是指可以改变分组（即改变括号的位置）并仍然得到相同的答案。恒等律是指存在一个特定的数字，当它与另一个数字进行运算时不会改变该数字。逆元是指产生恒等数字的东西。分配律是指可以分配运算。在所有这些性质中，分配律可能是你最常使用的一个，因为它是在一个表达式中同时涉及加法和乘法的唯一一个。举个例子：这些性质甚至蕴含了诸如“乘法是重复的加法”之类的基本结论。这本书不会证明很多东西，但看看它是如何工作的对我们来说将是有用的。
我们将分配律应用于 a = 7、b = 1 和 c = 1。
7 · 1 + 7 · 1 = 7 + 7
尽管这看起来很明显，但这实际上是上面提到的乘法的恒等律。现在我们尝试对7 · 3做同样的事情。
7 · 3 = 7 · (1 + 1 + 1)
就像之前一样，这仅仅是 3 = 1 + 1 + 1 的事实以及代入。
7 · (1 + 1 + 1) = 7 · 1 + 7 · 1 + 7 · 1
再次，我们应用分配律。请注意，我们可以将它应用于括号中包含两个以上数字相加的表达式。证明如下。虽然7 · (1 + 1 + 1) = 7 · 1 + 7 · 1 + 7 · 1没有完全被分配律覆盖，但这个问题可以通过用括号将最后两个 1s 括起来来解决。我们可以用7 · (1 + (1 + 1))来代替7 · (1 + 1 + 1)，然后使用分配律，其中a = 7、b = 1 且c = (1 + 1)。然后：7 · (1 + (1 + 1)) = 7 · 1 + 7 · (1 + 1)。现在我们仅将分配律应用于第二项（取a = 7、b = 1 且c = 1。然后（仅关注第二项）我们有7 · (1 + 1) = 7 · 1 + 7 · 1。最后，我们可以将此表达式代入第二项，回到方程式中，得到：7 · (1 + 1 + 1) = 7 · 1 + 7 · 1 + 7 · 1。
这看起来像很多无意义的括号操作，但关键是分配律适用于任意长的和与积。同样地，也成立
a · (b + c + d + e) = a · b + a · c + a · d + a · e
或者我们可以把它写得更长！我们可以有任意多个求和项；只要等式右边每一项前面都有“a · ”，那么这个等式就成立。我们将使用这个结论，而不进行证明（即不提供证明）。让我们回忆一下这些性质告诉我们关于算术的什么。交换律和结合律共同表明加法顺序并不重要。让我们看看为什么。结合律指出 a + (b + c) = (a + b) + c。这应该被理解为关于 a + b + c 的一个陈述。为什么？因为通常加法只定义在两个数之间，所以当有人写下类似 a + b + c 的东西时，有些人可能会先将 b 和 c 加在一起，然后再加上 a，而其他人可能会先将 a 和 b 加在一起，然后再加上 c。这个性质用公式说明，无论你采取哪种方式，结果都相同。那么那些先将 a 和 c 加在一起的人呢？这就是交换律发挥作用的地方。它告诉我们，我们不必按照人们写下顺序加法。你可以改变顺序，但结果还是一样的。让我们再举一个使用这些性质来“调整括号”的例子，以说明交换律表明你可以先将 a 和 c 加在一起，结果还是一样的。
b + c = c + b
这是应用于 b + c 的加法交换律
a + (b + c) = a + (c + b)
这是由代入得到的
a + (b + c) = (a + c) + b
这只是在上面行右侧使用结合律。
交换律和结合律告诉我们，你对 a + b + c 的加法顺序并不重要。无论顺序如何，你都会得到相同的结果。即使有超过三个项，这个规则仍然适用：可能有 4 个，12 个，或者几千个项。这些性质仍然告诉我们，加法顺序并不重要。
乘法的相同性质告诉我们，乘法顺序并不重要。我们可以随意改变顺序，只要对我们来说更方便。它真的能使问题更方便吗？当然！例如，如果你被要求计算 4 · 3 · 5 · (1/4)，我会认为计算 4 · (1/4) · 3 · 5 会更方便。
单位 和 逆 性质真正体现了“加法和减法互为逆运算”以及“乘法和除法互为逆运算，只要我们不乘以 0”的含义。我们将其留作练习，让感兴趣的读者思考为什么是这样。
你通常可以使用分配律来简化表达式。这也是它如此重要的原因之一。例如，考虑表达式 2(x − 7) + 14。如果我们对这个表达式中的第一项使用分配律会发生什么？让我们来计算一下。根据分配律
2(x − 7) = 2x − 2 · 7 = 2x − 14
将它代入上面的表达式，我们得到 2(x − 7) + 14 = 2x − 14 + 14 = 2x。显然，2x 比 2(x − 7) + 14 容易求值得多！
除法的交换性质[edit | edit source]
除法不满足交换律。这意味着通常 a ÷ b 不等于 b ÷ a，可以通过一个简单的例子说明。
1 2 ≠ 2 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\neq {\frac {2}{1}}}
虽然除法本身不满足交换律，但有两种特殊情况，如果颠倒操作顺序，答案（商）仍然相同。这两种情况发生在商为 1 或商为 -1 时。
a ÷ b = b ÷ a ⟺ (rewrite as fractions) {\displaystyle a\div b=b\div a\iff {\mbox{(rewrite as fractions)}}}
a b = b a ⟺ (multiply both sides by a b ) {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {b}{a}}\iff {\mbox{(multiply both sides by}}\ ab)}
a 2 = b 2 ⟺ (take both square roots) {\displaystyle a^{2}=b^{2}\iff {\mbox{(take both square roots)}}}
a = b 2 or a = − b 2 {\displaystyle a={\sqrt {b^{2}}}\quad {\mbox{ or }}\quad a=-{\sqrt {b^{2}}}}
a = b or a = − b {\displaystyle a=b\quad {\mbox{ or }}\quad a=-b}
a ÷ b = 1 or a ÷ b = − 1 {\displaystyle a\div b=1\quad {\mbox{ or }}\quad a\div b=-1}
代数基本定律[edit | edit source]
代数中有一些基本定律。理解这些定律将帮助你操作和解方程，以及理解代数关系。
1. 交换律[edit | edit source]
一般来说，项目的顺序可以改变，不会影响结果。
对于加法， A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A} 表示改变被加项目的顺序不会影响和。
对于乘法， X Y = Y X {\displaystyle XY=YX} 表示改变被乘项目的顺序不会影响积。
请注意，交换律不适用于减法或除法。
2. 结合律[edit | edit source]
一般来说，项目的组合可以改变，不会影响结果。（似乎是交换律的延伸）。
对于加法， A + ( B + C ) = ( A + B ) + C {\displaystyle A+(B+C)=(A+B)+C} 表示改变被加项目的组合不会影响和。
对于乘法， X ( Y Z ) = ( X Y ) Z {\displaystyle X(YZ)=(XY)Z} 表示改变被乘项目的组合不会影响积。
与交换律一样，结合律不适用于减法或除法。
3. 分配律[edit | edit source]
表示公因子可以提取出来，或者因子可以分配。（A + B) X = (A X) + (B X)（右侧的 “X” 项合并为左侧的因子；左侧的因子 “X” 分配到右侧）。
考虑将 **X = (Y + Z)** 代入上述方程，得到 **(A + B) (Y + Z) = A (Y + Z) + B (Y + Z)**。将分配律应用到右侧的每一项，得到 **A Y + A Z + B Y + B Z**。如果我们乘以以下表达式中用 “F O I L” 表示的项，我们可以跳过中间步骤 **(A + B) (Y + Z) =**
字母
描述
项
F
首项
A Y +
O
外项
A Z +
I
内项
B Y +
L
末项
B Z
4. 单位律[edit | edit source]
对于 **加法和减法**，单位律表示给定项或数量的加法 **和** 减法结果为零，0，加法和减法的单位元。或者，添加单位元不会改变原始值或数量。
A − A = 0 {\displaystyle A-A=0}
将 A 加到第一个等式的两边，得到 **(A - A) + A = 0 + A**。重新排列或代入得到 **0 + A = A**
请注意特殊情况 **A = A + 0 = A + 0 + 0**
对于 **乘法和除法**，单位律表示给定项或数量的乘法 **和** 除法结果为 “一”，1，乘法和除法的单位元。或者，乘以或除以单位元不会改变原始值或数量。
1 = Y Y {\displaystyle 1={\frac {Y}{Y}}} ，或者 1 = ( Y 1 ) ( 1 Y ) {\displaystyle 1=({\frac {Y}{1}})({\frac {1}{Y}})}
请注意，将 1 除以项或数量会得到项或数量的倒数。乘以倒数与除以项或数量相同。在上面等式右侧 **(Y / 1) 和 (1 / Y)** 互为倒数
请注意特殊情况 1 = 1 1 {\displaystyle 1={\frac {1}{1}}} ，将此等式乘以 “1” 得到 1 ( 1 ) = ( 1 ) ( 1 1 ) {\displaystyle 1(1)=(1)({\frac {1}{1}})} ，然后除以一得到 1 ( 1 ) 1 = ( 1 ) ( 1 1 ) = {\displaystyle {\frac {1(1)}{1}}=(1)({\frac {1}{1}})=} 。
通过代入第一个特例方程来简化它，得到 1 = 1 ( 1 ) {\displaystyle 1=1(1)} ，以及 1 = 1 ( 1 ) ( 1 ) {\displaystyle 1=1(1)(1)} ，. . .
将第一个方程两边乘以“Y”，得到 ( Y ) ( 1 ) = ( Y ) ( Y Y ) {\displaystyle (Y)(1)=(Y)({\frac {Y}{Y}})} ，简化后变为 (Y) = (1) Y.
练习题[edit | edit source]
问题 2.54（确定实数的性质） 确定以下语句是总是、有时还是从不为真。如果语句总是为真，请解释你的推理。如果语句并不总是为真，请提供一个反例。
a . A n i n t e g e r i s a w h o l e n u m b e r . {\displaystyle a.\ An\ integer\ is\ a\ whole\ number.}
b . I f a n u m b e r i s w h o l e i t i s a n a t u r a l n u m b e r . {\displaystyle b.\ If\ a\ number\ is\ whole\ it\ is\ a\ natural\ number.}
c . I f a n u m b e r c o n t a i n s a d e c i m a l i t i s a n i n t e g e r . {\displaystyle c.\ If\ a\ number\ contains\ a\ decimal\ it\ is\ an\ integer.}
d . I f a n u m b e r i s n a u t u r a l , t h e n i t i s a r e a l n u m b e r . {\displaystyle d.\ If\ a\ number\ is\ nautural,\ then\ it\ is\ a\ real\ number.}
e . T h e p r o d u c t o f t w o i r r a t i o n a l n u m b e r s i s a n i r r a t i o n a l n u m b e r . {\displaystyle e.\ The\ product\ of\ two\ irrational\ numbers\ is\ an\ irrational\ number.}
问题 52 的可能答案
a. 有时为真。数字 -1 是一个整数，但它不是一个自然数。
b. 有时为真。数字 0 是一个自然数，但它不是一个自然数。
c. 从不为真。整数包括所有负数和非分数的自然数。
d. 总是为真。实数集部分包含自然数。
e. 有时为真。 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 和 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} 的乘积等于 1。a. 有时为真。数字 -1 是一个整数，但它不是一个自然数。
b. 有时为真。数字 0 是一个自然数，但它不是一个自然数。
c. 从不为真。整数包括所有负数和非分数的自然数。
d. 总是为真。实数集部分包含自然数。
e. 有时为真。 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 和 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} 的乘积等于 1。
问题 2.55（识别实数的性质） 确定以下表达式的性质。
a . 4 ( 3 x + 4 ) = 12 x + 16 {\displaystyle a.\ 4(3x+4)=12x+16}
b . 6 + 0 = 6 {\displaystyle b.\ 6+0=6}
c . ( 2 + 7 ) + 5 = ( 2 + 5 ) + 7 {\displaystyle c.\ (2+7)+5=(2+5)+7}
d . ( 3 / 4 ) ( 4 / 3 ) = 1 {\displaystyle d.\ (3/4)(4/3)=1}
e . T o d i v i d e 3072 b y 512 , y o u c a n d i v i d e 3072 b y 16 , a g a i n b y 8 , a n d a g a i n b y 4. {\displaystyle e.\ To\ divide\ 3072\ by\ 512,\ you\ can\ divide\ 3072\ by\ 16,\ again\ by\ 8,\ and\ again\ by\ 4.}
问题 53 的答案
a. 分配律
b. 加法恒等式c. 加法结合律d. 乘法恒等式
e. 乘法结合律a. 分配律
b. 加法恒等式c. 加法结合律d. 乘法恒等式
e. 乘法结合律
问题 2.56 (乘积模式) 使用结合律解释为什么每个规则中的乘积相等。
2 ∗ 2 = 1 ∗ 4 {\displaystyle 2*2=1*4}
4 ∗ 3 = 2 ∗ 6 {\displaystyle 4*3=2*6}
6 ∗ 4 = 3 ∗ 8 {\displaystyle 6*4=3*8}
8 ∗ 5 = 4 ∗ 10 {\displaystyle 8*5=4*10}
10 ∗ 6 = 5 ∗ 12 {\displaystyle 10*6=5*12}
12 ∗ 7 = 6 ∗ 14 {\displaystyle 12*7=6*14}
14 ∗ 8 = 7 ∗ 16 {\displaystyle 14*8=7*16}
问题 2.57 (高斯技巧) 在 18 世纪后期，数学家卡尔·弗里德里希·高斯的幼儿园班级被要求求出 1 到 100 之间所有自然数的和。虽然大多数同学都难以完成这项看似不可能的任务，但高斯却能很快地找出问题的答案。他是怎么做到的呢？
问题 2.58 (操纵高斯技巧) 我们可以使用类似于我们在问题 2.55 中使用的方法来求几个数字的和。你能求出以下结果吗？
a. 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 201 {\displaystyle 1+2+3+4+...+201}
b. 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 200 {\displaystyle 2+4+6+8+...+200}
c. 101 + 102 + 103 + . . . + 998 + 999 + 1000 {\displaystyle 101+102+103+...+998+999+1000}
d. 9 + 12 + 15 + . . . + 54 + 57 + 60 {\displaystyle 9+12+15+...+54+57+60}
问题 2.59 (数字的倒数) 加法逆元性质指出，如果你将一个数字与其相反数，即其加法逆元相加，你会得到零。同样，乘法逆元性质指出，如果你将一个数字乘以其倒数，即其乘法逆元，你会得到 1。求出以下数字的加法逆元和乘法逆元。
a . − 6 {\displaystyle a.\ -6}
b . 4 2 3 {\displaystyle b.\ 4{\frac {2}{3}}}
c . − 0.33 {\displaystyle c.\ -0.33}
d . 2 + 5 {\displaystyle d.\ 2+{\sqrt {5}}}
问题 2.60 (使用分配律) 使用分配律简化这些表达式。
a . 2 ( 14 x − 26 ) {\displaystyle a.\ 2(14x-26)}
b . ( 2 / 3 ) ( 3 x + 9 ) {\displaystyle b.\ (2/3)(3x+9)}
c . 3 ( 12 x + 4 y ) {\displaystyle c.\ 3(12x+4y)}
d . 2 ( 5 x − 6 ) + 3 ( 3 x + 2 ) {\displaystyle d.\ 2(5x-6)+3(3x+2)}
e . ( 4 x + 7 ) ( 2 x − 3 ) {\displaystyle e.\ (4x+7)(2x-3)}
f . ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) {\displaystyle f.\ (x+1)(x+2)(x+3)}
第 58 题答案
a . 28 x − 52 {\displaystyle a.\ 28x-52}
b . 2 x + 6 {\displaystyle b.\ 2x+6}
c . 36 x + 12 y {\displaystyle c.\ 36x+12y}
d . 19 x − 6 {\displaystyle d.\ 19x-6}
e . 8 x 2 + 2 x − 21 {\displaystyle e.\ 8x^{2}+2x-21}
f . x 3 + 6 x 2 + 11 x + 6 {\displaystyle f.\ x^{3}+6x^{2}+11x+6} a . 28 x − 52 {\displaystyle a.\ 28x-52}
b . 2 x + 6 {\displaystyle b.\ 2x+6}
c . 36 x + 12 y {\displaystyle c.\ 36x+12y}
d . 19 x − 6 {\displaystyle d.\ 19x-6}
e . 8 x 2 + 2 x − 21 {\displaystyle e.\ 8x^{2}+2x-21}
f . x 3 + 6 x 2 + 11 x + 6 {\displaystyle f.\ x^{3}+6x^{2}+11x+6}
问题 2.61（含三项的分配律） 下面的表达式展开后，y 的系数是多少？
( 5 x + 2 y − 4 ) ( 2 x + 7 y + 3 ) {\displaystyle (5x+2y-4)(2x+7y+3)}
第 59 题答案
-22-22
问题 2.62（表达式改写） 不使用计算器的情况下计算下面表达式的值
2013 ∗ 2014 − 2013 ∗ 1992 2014 − 1992 {\displaystyle {\frac {2013*2014-2013*1992}{2014-1992}}}
第 60 题答案
20132013
问题 2.63（乘法和分配律） 说明 365 和 392 的乘法运算的常规排列是如何体现分配律的。
问题 2.64（和/差的平方） 对于两个数 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} ，求以下表达式的值
a . ( a + b ) 2 {\displaystyle a.\ (a+b)^{2}}
b . ( a − b ) 2 {\displaystyle b.\ (a-b)^{2}}
问题 2.65（棘手的乘积） 不使用计算器的情况下计算下面表达式的值
a . ( 101 ) 2 {\displaystyle a.\ (101)^{2}}
b . ( 95 ) 2 {\displaystyle b.\ (95)^{2}}
c . ( 998 ) ( 999 ) {\displaystyle c.\ (998)(999)}
d . ( 63 ) ( 57 ) {\displaystyle d.\ (63)(57)}
e . ( 71 ) 2 {\displaystyle e.\ (71)^{2}}
第 63 题答案
a. 10201
b. 9025c. 997002d. 3951
e. 5041a. 10201
b. 9025c. 997002d. 3951
e. 5041
问题 2.66 (1001 的秘密) 一个男孩声称他能算出任何三位数与 1001 的乘积。他算术课上的一个同学挑战他找出 1001 与 865 的乘积，他立即得到了正确答案。计算答案，并确定男孩的秘密。
问题 2.67 (ABCD) 证明以下表达式可以写成 a − d {\displaystyle a-d} 和 b + c {\displaystyle b+c} 之间的乘积。
a b − c d + a c − b d {\displaystyle ab-cd+ac-bd}
第 64 题解答
从以下开始
a b − c d + a c − b d {\displaystyle ab-cd+ac-bd}
将以上表达式改写如下
a b + ( − c d ) + a c + ( − b d ) {\displaystyle ab+(-cd)+ac+(-bd)}
利用加法交换律，表达式可以改写为
a b + a c + ( − c d ) + ( − b d ) {\displaystyle ab+ac+(-cd)+(-bd)}
a ( b + c ) − d ( c + b ) {\displaystyle a(b+c)-d(c+b)}
a ( b + c ) − d ( b + c ) {\displaystyle a(b+c)-d(b+c)}
利用分配律，它可以进一步写成
( a − d ) ( b + c ) {\displaystyle (a-d)(b+c)} 从以下开始
a b − c d + a c − b d {\displaystyle ab-cd+ac-bd}
将以上表达式改写如下
a b + ( − c d ) + a c + ( − b d ) {\displaystyle ab+(-cd)+ac+(-bd)}
利用加法交换律，表达式可以改写为
a b + a c + ( − c d ) + ( − b d ) {\displaystyle ab+ac+(-cd)+(-bd)}
a ( b + c ) − d ( c + b ) {\displaystyle a(b+c)-d(c+b)}
a ( b + c ) − d ( b + c ) {\displaystyle a(b+c)-d(b+c)}
利用分配律，它可以进一步写成
( a − d ) ( b + c ) {\displaystyle (a-d)(b+c)}
问题 2.68 (实数的稠密性) 实数的稠密性 指出在任何两个实数之间，都存在另一个实数。利用这个性质证明在 0 和 1 之间存在无穷多个实数。
第 60 题解答
让我们在 0 和 1 之间选择一个数，在本例中是 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 。然后，我们可以选择一个介于 0 和 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 之间的数， 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} ，以及一个介于 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 和 1 之间的数， 3 4 {\displaystyle {\frac {3}{4}}} 。我们可以继续这个过程，我们仍然会总是在我们选择的任何两个数之间找到一个数。因此，在 0 和 1 之间存在无穷多个实数。让我们在 0 和 1 之间选择一个数，在本例中是 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 。然后，我们可以选择一个介于 0 和 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 之间的数， 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} ，以及一个介于 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 和 1 之间的数， 3 4 {\displaystyle {\frac {3}{4}}} 。我们可以继续这个过程，我们仍然会总是在我们选择的任何两个数之间找到一个数。因此，在 0 和 1 之间存在无穷多个实数。
闭包[edit | edit source]
闭包是针对一组实数和一个运算定义的性质。这 维基百科文章 用数学各个领域中的例子描述了闭包性质。作为代数学生，了解闭包性质可以帮助你解决问题。例如，一个问题可能会说明“两个整数的和为 24”。通过练习，你将能够看到可能的数字集将是全部为奇数（例如 (1,23),(3,21)，... 等等）或全部为偶数（例如 (2,22), (4,20), ... 等等）。问题可能没有明确说明整数的概念。它可能会说明一个正方形的两条边之和为 24。如果你记得之前做过类似的问题，你就知道正方形的边需要相等，你需要除以 2。问题的作者可能会想更难一些，说一个等边三角形的两条边之和为 24，然后要求你求三角形的周长。在这种情况下，你可能想写方程 3 x = p {\displaystyle 3x=p} 来表示等边三角形的周长。这可能使你更容易看到，你只需要将 24 除以 2 就可以找到一条边的长度，然后将其代入方程。
练习题[edit | edit source]
问题 2.69（运算的闭包）完成以下表格，该表格代表了不同类型的数字的运算闭包性质。使用复选标记表示闭包，使用叉号表示不闭包。
加法
减法
乘法
除法
幂运算
开根
ℕ
𝕎
ℤ
ℚ
𝕀
ℝ
问题 2.70（集合的闭包）从集合 { a , b , c , d , e } {\displaystyle \{a,b,c,d,e\}} 中选择两个字母，并将它们相乘。这样做后的结果如下
*
a
b
c
d
e
a
b
c
e
a
d
b
d
a
c
b
e
c
c
d
b
e
a
d
a
e
d
c
b
e
e
b
a
d
c
该集合在乘法运算下是否闭包？
顺序和绝对值[edit | edit source]
实数 a {\displaystyle a} 的绝对值（或模数），表示为 | a | {\displaystyle |a|} ，指的是它在实数轴上到零的距离。这个值始终取为非负数。例如，左侧的图示显示了以下内容
| − 5 | = 5 | 3 | = 3 {\displaystyle |-5|=5\ |3|=3}
-5 的绝对值为 5，因为它距离零 5 个单位，3 的绝对值为 3，因为它距离零 3 个单位。正数或零的绝对值始终是它本身。相反，负数的绝对值是它的相反数。
同样，数轴上两个数之间的距离可以看作它们差的绝对值。
绝对值和 PEMDAS[edit | edit source]
练习题[edit | edit source]
问题 2.71（数字排序 I）将以下数字集按以下顺序排列：（a）从小到大 (b) 从大到小。
2.1 , − 4 , 1 2 , π , 3.99 , − 3 4 , − 0.25 , π 3 {\displaystyle 2.1,-4,\ {\frac {1}{2}},\ \pi ,\ 3.99,\ -{\frac {3}{4}},\ -0.25,\ {\frac {\pi }{3}}}
问题 69 的答案
a . − 4 , − 3 4 , − 1 2 , − 0.25 , π 3 , 2.1 , π , 3.99 {\displaystyle a.\ -4,-{\frac {3}{4}},-{\frac {1}{2}},-0.25,{\frac {\pi }{3}},2.1,\pi ,3.99}
b . 3.99 , π , 2.1 , π 3 , − 0.25 , − 1 2 , − 3 4 , − 4 {\displaystyle b.\ 3.99,\pi ,2.1,{\frac {\pi }{3}},-0.25,-{\frac {1}{2}},-{\frac {3}{4}},-4} a . − 4 , − 3 4 , − 1 2 , − 0.25 , π 3 , 2.1 , π , 3.99 {\displaystyle a.\ -4,-{\frac {3}{4}},-{\frac {1}{2}},-0.25,{\frac {\pi }{3}},2.1,\pi ,3.99}
b . 3.99 , π , 2.1 , π 3 , − 0.25 , − 1 2 , − 3 4 , − 4 {\displaystyle b.\ 3.99,\pi ,2.1,{\frac {\pi }{3}},-0.25,-{\frac {1}{2}},-{\frac {3}{4}},-4}
问题 2.72（数字排序 II）将问题 2.68 中数字的绝对值按以下顺序排列：（a）从小到大 (b) 从大到小。
问题 70 的答案
a . 0.25 , 1 2 , 3 4 , π 3 , 2.1 , π , 3.99 , 4 {\displaystyle a.\ 0.25,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {\pi }{3}},2.1,\pi ,3.99,4}
b . 4 , 3.99 , π , 2.1 , π 3 , 3 4 , 1 2 , 0.25 {\displaystyle b.\ 4,3.99,\pi ,2.1,{\frac {\pi }{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {1}{2}},0.25} a . 0.25 , 1 2 , 3 4 , π 3 , 2.1 , π , 3.99 , 4 {\displaystyle a.\ 0.25,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {\pi }{3}},2.1,\pi ,3.99,4}
b . 4 , 3.99 , π , 2.1 , π 3 , 3 4 , 1 2 , 0.25 {\displaystyle b.\ 4,3.99,\pi ,2.1,{\frac {\pi }{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {1}{2}},0.25}
问题 2.73 （绝对值表达式） 计算以下包含绝对值的表达式。
a . | − 88 | {\displaystyle a.\ |-88|}
b . | 3 − 16 | {\displaystyle b.\ |3-16|}
c . | − 14 | + | 3 | {\displaystyle c.\ |-14|+|3|}
d . | | − 5 | − 3 | {\displaystyle d.\ ||-5|-3|}
e . | 1 − 3 | + | 2 − 2 | − | 3 − 2 | {\displaystyle e.\ |1-{\sqrt {3}}|+|2-{\sqrt {2}}|-|{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}|}
f . 3 − 2 | 2 − 10 | + 11 {\displaystyle f.\ 3-2|2-10|+11}
g . | − ( − 5 ) | − | 3 | − 3 {\displaystyle g.\ {\frac {|-(-5)|-|3|}{-3}}}
h . 2 | 3 ∗ 2 2 − 1 | − 10 | − 2 | 6 {\displaystyle h.\ {\frac {2|3*2^{2}-1|-10|-2|}{6}}}
i . ( 5 − 6 ) 2 − 2 | 3 − 7 | 89 − 3 ∗ 5 2 {\displaystyle i.\ {\frac {(5-6)^{2}-2|3-7|}{89-3*5^{2}}}}
问题 71 的答案
a. 88
b. 13c. 17d. 2e. 1f. -2g. − 2 3 {\displaystyle -{\frac {2}{3}}} h. 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
i. − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} a. 88
b. 13c. 17d. 2e. 1f. -2g. − 2 3 {\displaystyle -{\frac {2}{3}}} h. 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
i. − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}}
问题 2.74 （绝对比率） 简化以下表达式，已知 x < 0. {\displaystyle x<0.}
| x | x {\displaystyle {\frac {|x|}{x}}}
问题 72 的答案
-1-1
问题 2.75（值域 I） 如果 24 < x < 39 {\displaystyle 24 | x − 24 | + | x − 39 | {\displaystyle |x-24|+|x-39|} 问题 73 的答案 1515 问题 2.76（值域 II） 如果 − 12 ≤ x < 12 {\displaystyle -12\leq x<12} ，以下表达式的值为多少？ | x − 14 | + | x − 12 | + | x + 12 | + | x + 14 | {\displaystyle |x-14|+|x-12|+|x+12|+|x+14|} 问题 74 的答案 5252 问题 2.77（值域 III） 如果 − 19 ≤ x ≤ y ≤ 4 {\displaystyle -19\leq x\leq y\leq 4} ，以下表达式的值为多少？ | x + 19 | + | x − y | + | y − 4 | {\displaystyle |x+19|+|x-y|+|y-4|} 问题 75 的答案 2323 问题 2.78（最小可能的绝对值） 如果 n 是一个整数，以下表达式的最小可能值是多少？ | 123 − 5 n | {\displaystyle |123-5n|} 问题 76 的答案 22 问题 2.79（三角不等式） 对于任何三角形，任意两边的长度之和必须大于或等于第三边的长度。 此关系表示如下 | a + b | ≤ | a | + | b | {\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|} a. 使用此关系来确定边长为 6、9 和 14 的三角形是否存在。 b. 使用此关系来确定边长为 5、10 和 15 的三角形是否存在。 c. 除了几何应用之外，上述不等式还表明两个数字 a 和 b 之和的绝对值小于或等于 a 的绝对值与 b 的绝对值之和。 证明这个关系是正确的。 课程回顾[edit | edit source] 我们将在代数的大部分时间里使用的所有数字都称为实数。 它们由有理数和无理数组成。 无理数是指具有无限不循环小数的数字，例如 pi。 有理数是指所有可以表示为整数分数的数字，包括自然数、整数、整数和有理数。 对于所有实数，加法和乘法都有一些性质：交换律、结合律、单位元、逆元和分配律。 分配律将对本课程的其余部分有所帮助。 课程测验[edit | edit source] 确定每个数字所属的数字集。 如果该数字不属于任何集合，请不要选中任何框 1 7 {\displaystyle {\sqrt {7}}} 自然数 整数 整数 有理数 无理数 实数 2 − 25 {\displaystyle {\sqrt {-25}}} 自然数 整数 整数 有理数 无理数 实数 3 − 36 {\displaystyle -{\sqrt {36}}} 自然数 整数 整数 有理数 无理数 实数 4 ( − 4 ) 2 {\displaystyle (-4)^{2}} 自然数 整数 整数 有理数 无理数 实数 确定表示的属性。 5 2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2 {\displaystyle 2\cdot \!3=3\cdot \!2} 的性质 6 x ( 1 x ) = 1 {\displaystyle x\left({\frac {1}{x}}\right)=1} 的性质 7 x + ( − x ) = 0 {\displaystyle x+(-x)=0\,} 的性质 使用乘法的分配律化简以下每个表达式。 8 3 ( 2 x + 7 ) = {\displaystyle 3(2x+7)=} 9 15 ( 6 x − 22 ) = {\displaystyle 15(6x-22)=} 10 3 ( 20 x + 42 y ) − 2 ( 7 x + 20 y ) = {\displaystyle 3(20x+42y)-2(7x+20y)=} 挑战问题。注意：在纸上回答“为什么”问题。 11 两个有理数相乘，结果是否总是另一个有理数？ 是 否 12 为什么？ 13 两个无理数相乘，结果是否总是另一个无理数？ 是 否 14 为什么？ 15 两个无理数相加，结果是否总是另一个无理数？ 是 否 16 为什么？ 17 对无理数开平方根，结果是否一定还是无理数？ 是 否 18 为什么？ 19 如果 x ( x + 1 ) {\displaystyle x(x+1)} 是无理数，那么x一定是无理数吗？ 是 否 20 为什么？